已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点M(1，32)在椭

问题解答题

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点M(1，

)在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F₂为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点．
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②试探究：线段AB与F₂D的长度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直线l的方程．

答案

（1）由题意知，设椭圆C的方程为

=1（a＞b＞0）

∴2a=

(-1-1)2+(

-0)2

(1-1)2+(

-0)2

=4，

∴a=2，又c=1，∴b=

，

∴椭圆c的方程为：

=1；

（2）由题意可得，抛物线E，y²=4x，

设l：y=k（x-1），（k≠0），

y=k(x-1)

y2=4x

⇒k²x²-2（k²+2）x+k²=0，

△=16（k²+1）＞0，恒成立，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x₁+x₂=2+

，x₁x₂=1，

①∵F₁B⊥F₂B，∴

=1，

又

=4x2，x₁x₂=1，

∴

+4x₂=x₁x₂，

∴x₁-x₂=4，

∴|AF₂|-|BF₂|=x₁-x₂=4；

②假设|AB|=|F₂D|，

∵l过点F₂，∴|AB|=x₁+x₂+p=4+

，又D（0，-k），F₂（1，0），

∵|DF₂|=

1+k2

，

∵|AB|=|DF₂|，∴4+

1+k2

，

∴k⁴-16k²-16=0，∴k²=8+4

或k²=8-4

（舍去），

即k=±2

，所以l的方程为：y=±2

（x-1）时，有|AB|=|DF₂|；