（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），

由题意知a²=1+4=5，所以a=

5

，

又e=

2

2

，所以

c

5

=

2

2

，解得c=

10

2

，则b²=a²-c²=5-

5

2

=

5

2

．

故椭圆C₁的方程为

x2

5

+

2y2

5

=1．

（2）由

y=x+m x2 5 + 2y2 5 =1

，得3x²+4mx+2m²-5=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2m2-5

3

，

所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

16 9 m2- 4(2m2-5) 3

=

2

•

60-8m2 9

．

双曲线的渐近线方程为：y=2x，y=-2x，

由

y=x+m y=2x

解得

x=m y=2m

，由

y=x+m y=-2x

解得

x=- m 3 y= 2 3 m

，

所以两交点P，Q的坐标为（m，2m），（-

m

3

，

2

3

m），

|PQ|=

(m+ m 3 )2+(2m- 2 3 m)2

=

32 9 m2

，

因为|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，

故

2

•

60-8m2 9

=3

32 9 m2

，解得m=±

570 38

．

故m的值为±

570 38

．