问题
解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）若直线l不过点M，试问kMA+kMB是否为定值？并说明理由． |
答案
（Ⅰ）∵
=c a
，∴3 2
=b a
，-----------------------------------------------------（2分）1 2
依题意设椭圆方程为：
+x2 4b2
=1y2 b2
把点（4，1）代入，得b2=5
∴椭圆方程为
+x2 20
=1---------------------------------------------------（4分）y2 5
（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程得：5x2+8mx+4m2-20=0，
由△＞0可得64m2-20（4m2-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=8m 5
，-----------------------（8分）4m2-20 5
∴kMA+kMB=
+y1-1 x1-4
=y2-1 x2-4
=0，2x1x2-(m-5)(x1+x2)-8(m-1) (x1-4)(x2-4)
∴kMA+kMB为定值0．------------------（12分）