问题
解答题
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e=
（1）求椭圆的标准方程； （2）若过点B（0，-2）的直线l（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF面积之比为λ，求λ的取值范围． |
答案
（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），则b=1y2 b2
∵椭圆的离心率为e=
，∴2 2
=c a
，2 2
∵a2=b2+c2，∴a2=2，c=1
∴椭圆方程为
+y2=1；x2 2
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设l方程为y=mx-2（m≠0）①，代入
+y2=1，x2 2
整理得（2m2+1）x2-8mx+6=0，由△＞0得m2＞
．3 2
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=8m 2m2+1
②6 2m2+1
∵△OBE与△OBF面积之比为λ
∴
=λ，∴|BE| |BF|
=λBE BF
∴x2=λx1．
代入②得，消去x1得
=(1+λ)2 λ
×32 3
，1 2+ 1 m2
∵m2＞
．3 2
∴0＜
＜1 m2 2 3
∴4＜
＜(1+λ)2 λ 16 3
∴
＜λ＜3且λ≠11 3