问题
解答题
设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
答案
（1）bn＝ (a－3)2n－1，n∈N*.
（2）[－9，＋∞)
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
即bn＋1＝2bn，b1＝S1－3＝a－3.
因此，所求通项公式为
bn＝b1·2n－1＝(a－3)2n－1，n∈N*.①
(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an
＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2·[12(
)n－2＋a－3]，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12()n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
所以a的取值范围是[－9，＋∞)．