问题
解答题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率e=
（Ⅰ） 求椭圆C的方程； （Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在椭圆上求一点Q使△OPQ的面积最大． |
答案
（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，可设椭圆的方程为
+x2 a2
=1，y2 42
又离心率e=
=c a
，及a2=42+c2，解得3 5
，a=5 c=3
∴椭圆的方程为
+x2 25
=1．y2 16
（Ⅱ）∵kOP=
=1，∴可设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为y=x+t．2 2
联立
，消去y得到关于x的方程41x2+50tx+25t2-400=0，（*）y=x+t
+x2 25
=1y2 16
∴△=0，即2500t2-4×41×（25t2-400）=0，化为 t2=41，解得t=±
．41
∴切线方程为y=x±
．41
把t=±
代入（*）解得x=±41
，代入y=x+t求得Q(25 41 41
，-25 41 41
)，或(-16 41 41
，25 41 41
)．16 41 41
上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．
的最好时期为（）。