问题 解答题
设椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,长轴的长等于2
3
,离心率为
3
3

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,点M是椭圆上异于A1,A2的任意一点,设直线MA1,MA2的斜率分别为kMA1kMA2,证明kMA1kMA2为定值.
答案

(1)设椭圆的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),

由已知得 2a=2

3
c
a
=
3
3

a=

3
,c=1,

又a2=b2+c2,∴b2=2.

∴椭圆C的标准方程为

x2
3
+
y2
2
=1.

(2)证明:由椭圆方程得A1(-

3
,0),A2(
3
,0)
,设M点坐标(x0,y0),

x02
3
+
y02
2
=1⇒y02=
2
3
(3-x02),

kMA1=

y0
x0+
3
kMA2=
y0
x0-
3

kMA1kMA2=

y02
x02-3
=
2
3
(3-x02)
x02-3
=-
2
3

kMA1kMA2是定值-

2
3

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