问题
解答题
设椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,长轴的长等于2
(1)求椭圆C的标准方程; (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,点M是椭圆上异于A1,A2的任意一点,设直线MA1,MA2的斜率分别为kMA1,kMA2,证明kMA1•kMA2为定值. |
答案
(1)设椭圆的方程为
+x2 a2
=1(a>b>0),y2 b2
由已知得 2a=2
,3
=c a
,3 3
∴a=
,c=1,3
又a2=b2+c2,∴b2=2.
∴椭圆C的标准方程为
+x2 3
=1.y2 2
(2)证明:由椭圆方程得A1(-
,0),A2(3
,0),设M点坐标(x0,y0),3
则
+x02 3
=1⇒y02=y02 2
(3-x02),2 3
∵kMA1=
,kMA2=y0 x0+ 3
,y0 x0- 3
∴kMA1•kMA2=
=y02 x02-3
=-
(3-x02)2 3 x02-3
.2 3
∴kMA1•kMA2是定值-
.2 3