问题
解答题
设椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，长轴的长等于2
（1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，点M是椭圆上异于A1，A2的任意一点，设直线MA1，MA2的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1•kMA2为定值． |
答案
（1）设椭圆的方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），y2 b2
由已知得 2a=2
，3
=c a
，3 3
∴a=
，c=1，3
又a2=b2+c2，∴b2=2．
∴椭圆C的标准方程为
+x2 3
=1．y2 2
（2）证明：由椭圆方程得A1(-
，0)，A2(3
，0)，设M点坐标（x0，y0），3
则
+x02 3
=1⇒y02=y02 2
(3-x02)，2 3
∵kMA1=
，kMA2=y0 x0+ 3
，y0 x0- 3
∴kMA1•kMA2=
=y02 x02-3
=-
(3-x02)2 3 x02-3
．2 3
∴kMA1•kMA2是定值-
．2 3