（1）∵e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，

∴a=2b．

∵原点到直线AB：

x

a

-

y

b

=1的距离d=

ab

a2+b2

=

4 5

5

，

解得a=4，b=2．

故所求椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．

（2）∵点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为点P₁（x₁，y₁），

∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

解得 x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4x0

5

．

∴

x

21

+

y

21

=

x

20

+

y

20

．

∵点P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1上，

∴

x

21

+

y

21

=

x

20

+

y

20

=4+

3

4

x

20

．

∵-4≤x₀≤4，∴4≤

x

21

+

y

21

≤16．

∴

x

21

+

y

21

的取值范围为[4，16]．

（3）由题意

y=kx+1 x2+4y2=16

消去y，整理得（1+4k²）x²+8kx-12=0．

可知△＞0．

设E（x₂，y₂），F（x₃，y₃），EF的中点是M（x_M，y_M），

则x2+x3=-

8k

1+4k2

，

则xM=

x2+x3

2

=-

4k

1+4k2

，y_M=kx_M+1=

1

1+4k2

．

∴kBM=

yM+2

xM

=-

1

k

．

∴x_M+ky_M+2k=0．

即

-4k

1+4k2

+

k

1+4k2

+2k=0．

又∵k≠0，

∴k2=

1

8

．

∴k=±

2

4

．