已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=

，

故椭圆方程为

+y2=1．　　　　 …（5分）

（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

因为M（0，1），F（1，0），所以k_PQ=1． …（7分）

于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．

由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-

，x₁x₂=

2m2-2

． …（9分）

由题意应有

•

=0，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，

所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．

整理得2×

2m2-2

（m-1）+m²-m=0．

解得m=-

或m=1． …（12分）

经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．

当m=-

时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-

．…（13分）