问题
解答题
已知椭圆
（1）求曲线C的方程； （2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(0，-
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答案
（1）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，
=2PM
，所以点P的坐标为（x，3y） （2分）MQ
点P在椭圆
+x2 4
=1上，所以y2 9
+x2 4
=1，因此曲线C的方程是(3y)2 9
+y2=1…（5分）x2 4
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件
所以设直线l的方程为y=kx-2与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），N点所在直线方程为y=-
，由4 17
得(1+4k2)x2-16kx+12=0x1+x2=y=kx-2
+y2=1x2 4
，x1x2=16k 1+4k2
，…（6分）12 1+4k2
由△=162k2-48(1+4k2)＞0得k2＞
，即k＞3 4
或k＜-3 2
，…（8分）3 2
因为
=ON
+OA
，所以四边形OANB为平行四边形，…（10分）OB
假设存在矩形OANB，则
•OA
=0，即x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2-2k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0，OB
所以(1+k2)•
-2k•12 1+4k2
+4=0，即k2=4，k=±2，…（12分）16k 1+4k2
设N（x0，y0），由
=ON
+OA
，得y0=y1+y2=k(x1+x2)-4=OB
-4=16k2 1+4k2
=--4 1+4k2
，4 17
即N点在直线y=-
，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为y=±2x-2…（15分）4 17