（1）设椭圆P的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），由题意得b=2

3

，

c

a

=

1

2

，

∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴椭圆P的方程为：

x2

16

 +

y2

12

= 1．

（2）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，

OR

•

OT

＜0，不满足题意．

故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x₁•x₂+y₁•y₂=

16

7

，

由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 = 1

 可得 （3+4k² ）x²-32kx+16=0，由△=（-32k）²-4（3+4k²）•16＞0，

解得 k²＞

1

4

  ①．

∴x₁+x₂=

32k

3+ 4k2

，x₁•x₂=

16

3+ 4k2

，

∴y₁•y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，

∴x₁•x₂+y₁•y₂=

16

3+ 4k2

+

16k2

3+ 4k2

-

128k2

3+ 4k2

+16=

16

7

，∴k²=1  ②，

由①、②解得 k=±1，∴直线l的方程为 y=±x-4，

故存在直线l：x+y+4=0，或 x-y-4=0，满足题意．