问题
解答题
已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=
（I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，点M是椭圆上异于Al，A2的任意一点，设直线MA1，MA2的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1，kMA2为定值． |
答案
（I）设椭圆的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)y2 b2
∵离心率e=
，∴a2=3c2，∴b2=2c23 3
∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切
∴b=
=2 2 2
∴c2=1
∴a2=3
∴椭圆的方程为
+x2 3
=1；y2 2
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A1（-
，0），A2（3
，0），3
设M点坐标（x0，y0），则
+x02 3
=1y02 2
∴y02=
(3-x02)2 3
∴kMA1•kMA2=
×y0 x0+ 3
=y0 x0- 3
=y02 x02-3
=-
(3-x02)2 3 x02-3 2 3
∴kMA1•kMA2是定值-
是定值．2 3