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问题 解答题
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为
3
5

（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．
答案

（Ⅰ）∵椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为
3
5
，

∴

c
a
=
3
5
16 
b2
=1
a2=b2+c2
，解得a=5，b=4，c=3，

∴椭圆C的方程是

x2
25
+
y2
16
=1．

（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆

x2
25
+
y2
16
=1于A（x1，y1），B（x2，y2），

设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，

得

16x12+25y12=400，①
16x22+25y22=400，②

①-②，得16（x1+x2）（x1-x2）+25（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴32x（x1-x2）+50y（y1-y2）=0，

∴直线AB的斜率k=

y1-y2
x1-x2
=-
16x
25y
，

∵直线AB过点（3，0），M（x，y），

∴直线AB的斜率k=

y
x-3
，

∴-

16x
25y
=
y
x-3
，整理，得16x2+25y2-48x=0．

当k不存在时，16x2+25y2-48x=0也成立．

故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2-48x=0．

实验题

在如图所示的电路中，闭合开关S，灯L不亮，电压表有示数．已知电路中各处均接触良好．

（1）请写出发生上述现象的三个可能原因： _________．

（2）为进一步确定原因，小华同学将一个电流表正确串联在该电路中，闭合开关S，观察电流表的示数情况．

若电流表有示数，说明上述现象产生的原因是 _________ （写出一个可能原因）；

若电流表无示数，说明上述现象产生的原因是 _________ ．

（3）小明同学准备用一根导线并连接在电阻R两端，根据灯泡能否发光进一步确定原因．此操作方案是否可行，请说明理由 _________ ．

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计算题

我国降雨呈现南多北少的局面，有资料表明武汉市的年平均降雨量为1260 mm。在下雨天我们会明显感觉到雨点越大，雨点对雨伞的冲击力也就越大，这一现象能否说明雨点越大，雨点落到地面的速度也就越大呢？现已知雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的最大横截面积成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv2（其中k为比例系数）。雨点接近地面时近似看作匀速直线运动，重力加速度为g，若把雨点看作球形，其半径为r，球体的体积为雨点的密度为ρ，求：

（1）雨点最终的运动速度vm（用ρ、r、g、k表示）；

（2）当雨点下落的速度达到时，雨点的加速度a的大小。

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