（1）∵离心率为

1

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过（1，

3

2

），

∴

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，c²=1，

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1

（2）假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），

∵在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，

∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，

∵3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），

∴y₀=3x₀，3x₀=4x₀+m，x₀=-m，y₀=-3m

而M（x₀，y₀）在椭圆内部，则

m2

4

+

9m2

3

＜1，即-

2 3

13

＜m＜

2 3

13

．

故存在实数m∈（-

2 3

13

，

2 3

13

），使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．