问题
解答题
已知f（x）=x4﹣4x3+（3+m）x2﹣12x+12，m∈R．
（1）若f'（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．
答案
解：（1）∵f（x）=x4﹣4x3+（3+m）x2﹣12x+12，m∈R，
∴f'（x）=4x3﹣12x2+2（3+m）x﹣12，
∴f'（1）=4﹣12+2（3+m）﹣12=0，
解得m=7．
∴f'（x）=4x3﹣12x2+20x﹣12=4（x﹣1）（x2﹣2x+3），
方程x2﹣2x+3=0的判别式△=22﹣3×4=﹣8＜0，
∴x2﹣2x+3＞0，
所以f'（x）=0，解得x=1，
列表讨论
由此可得f（x）的单调减区间是（﹣∞，1），f（x）单调增区间是（1，+∞）．
（2）f（x）=x4﹣4x3+（3+m）x2﹣12x+12=（x2+3）（x﹣2）2+（m﹣4）x2，
当m＜4时，f（2）=4（m﹣4）＜0，不合题意，
当m≥4时，f（x）=（x2+3）（x﹣2）2+（m﹣4）x2≥0，对一切实数x恒成立，
所以，m的取值范围是[4，+∞）．