问题
解答题
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,短轴长为2. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线l过P(-
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答案
设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a>b>0). y2 b2
(Ⅰ)由已知可得
⇒b=c 2b=2 a2=b2+c2
. a2=2 b2=1 c2=1
∴所求椭圆方程为
+y2=1. x2 2
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+
)+1 2
,A(x1,y1),B(x2,y2),1 2
则
+x 21 2
=1,y 21
+x 22 2
=1,两式相减得:y 22
=-y1-y2 x1-x2
•1 2
.x1+x2 y1+y2
∵P是AB的中点,∴
=-x1+x2 2
,1 2
=y1+y2 2
,1 2
代入上式可得直线AB的斜率为k=
=y1-y2 x1-x2
,1 2
∴直线l的方程为2x-4y+3=0.
当直线l的斜率不存在时,将x=-
代入椭圆方程并解得A(-1 2
,1 2
),B(-14 4
,-1 2
),14 4
这时AB的中点为(-
,0),∴x=-1 2
不符合题设要求.1 2
综上,直线l的方程为2x-4y+3=0.