问题 解答题
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l过P(-
1
2
1
2
)
且与椭圆相交于A,B两点,当P是AB的中点时,求直线l的方程.
答案

设椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0).                          

(Ⅰ)由已知可得

b=c
2b=2
a2=b2+c2
a2=2
b2=1
c2=1
.                     

∴所求椭圆方程为

x2
2
+y2=1.                           

(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+

1
2
)+
1
2
,A(x1,y1),B(x2,y2),

x21
2
+
y21
=1,
x22
2
+
y22
=1
,两式相减得:
y1-y2
x1-x2
=-
1
2
x1+x2
y1+y2

∵P是AB的中点,∴

x1+x2
2
=-
1
2
y1+y2
2
=
1
2

代入上式可得直线AB的斜率为k=

y1-y2
x1-x2
=
1
2

∴直线l的方程为2x-4y+3=0.

当直线l的斜率不存在时,将x=-

1
2
代入椭圆方程并解得A(-
1
2
14
4
)
B(-
1
2
,-
14
4
)

这时AB的中点为(-

1
2
,0),∴x=-
1
2
不符合题设要求.

综上,直线l的方程为2x-4y+3=0.

判断题
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