问题
解答题
已知椭圆
（I）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由． |
答案
（1）因为
，所以a=e=
=c a 2 2 a+c=1+ 2
，c=1，（4分）2
∴b=1，椭圆方程为：
+y2=1 （6分）x2 2
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），
代入
+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0x2 2
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=4k2 1+2k2
①，（10分）2k2-2 2k2+1
y1+y2=k（x1+x2-2）=-2k 2k2+1
设AB的中点为M，则M（
，2k2 2k2+1
），-k 2k2+1
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1
∴
-2m+4k2 1+2k2
•k=0-2k 2k2+1
∴（1-2m）k2=m
∴当0≤m＜
时，k=±1 2
，即存在这样的直线lm 1-2m
当
≤m≤1，k不存在，即不存在这样的直线l （15分）1 2