问题 解答题
椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为
2
2
,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A
AP
PB

(1)求椭圆方程;
(2)若
OA
OB
=4
OP
,求m
的取值范围。.
答案

(1)设椭圆C的方程:

y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0),则c2=a2-b2由条件知
a2
c
-c=
b2
c
=
2
2
c
a
=
2
2
,所以a=1,b=c=
2
2

故椭圆C的方程为y2+2x2=1.(4分)

(2)由

AP
PB
,得
OP
-
OA
=λ(
OB
-
OP
),

OA
OB
=(1+λ)
OP

OA
OB
=4
OP

∴λ+1=4,λ=3.

设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

y=kx+m
2x2+y2=1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,

因此△=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)

=4(k2-2m2+2)>0,①

则x1+x2=

-2km
k2+2
,x1x2=
m2-1
k2+1

AP
=3
PB
,∴-x1=3x2,得
x1+x2=-2x2
z1z2=-3
x22

得3(x1+x22+4x1x2=0,

3(

-2km
k2+2
)2+4
m2-1
k2+2
=0,

整理得:4k2m2+2m2-k2-2=0.

m2=

1
4
时,上式不成立.

m2

1
4
k2=
2-2m2
4m2-1

由①式得k2>2m2-2,

∵λ=3,∴k≠0,k2=

2-2m2
4m2-1
>0,

所以-1<m<-

1
2
1
2
<m<1

即所求m的取值范围为(-1,-

1
2
)∪(
1
2
,1)(14分)

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单项选择题 A1/A2型题