问题
解答题
椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为
(1)求椭圆方程; (2)若
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答案
(1)设椭圆C的方程:
+y2 a2
=1(a>b>0),则c2=a2-b2,由条件知x2 b2
-c=a2 c
=b2 c
,2 2
=c a
,所以a=1,b=c=2 2
,2 2
故椭圆C的方程为y2+2x2=1.(4分)
(2)由
=λAP
,得PB
-OP
=λ(OA
-OB
),OP
∴
+λOA
=(1+λ)OB
.OP
∵
+λOA
=4OB
,OP
∴λ+1=4,λ=3.
设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+m 2x2+y2=1
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,
因此△=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)
=4(k2-2m2+2)>0,①
则x1+x2=
,x1x2=-2km k2+2
.m2-1 k2+1
∵
=3AP
,∴-x1=3x2,得PB x1+x2=-2x2 z1z2=-3 x 22
得3(x1+x2)2+4x1x2=0,
∴3(
)2+4-2km k2+2
=0,m2-1 k2+2
整理得:4k2m2+2m2-k2-2=0.
当m2=
时,上式不成立.1 4
∴m2≠
,k2=1 4
.2-2m2 4m2-1
由①式得k2>2m2-2,
∵λ=3,∴k≠0,k2=
>0,2-2m2 4m2-1
所以-1<m<-
或1 2
<m<1.1 2
即所求m的取值范围为(-1,-
)∪(1 2
,1)(14分)1 2