问题
解答题
已知椭圆C的离心率e=
（I）求椭圆C的方程； （II）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由． |
答案
（I）设椭圆C的方程为
+x2 a2
=1(a＞0，b＞0)，y2 b2
∵a=2，e=
，∴c=3 2
，b2=1，3
∴椭圆C的方程为
+y2=1．x2 4
（II）取m=0，得P（1，
），Q（1，-3 2
），3 2
直线A1P的方程是y=
x+3 6
，3 3
直线A1P的方程是y=
x+3 6
，直线A2Q的方程为是y=3 3
x-3 2
交点为S1(4，3
)．3
若P(1，-
) ，Q(1，3 2
)，由对称性可知S2(4，-3 2
)，3
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x=4上，
事实上，由
，
+y2=1x2 4 x=my+1
得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，
记P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1+y2=
，y1 y2=-2m m2+4
，-3 m2+4
记A1P与l交于点S0（4，y0），
由
=y0 4+2
，得y0=y1 x1+2
，6y1 x1+2
设A2Q与l交于点S‘0（4，y′0），
由
=y′0 4-2
，得y′0=y2 x2-2
，2y2 x2-2
∵y0-y′0=
-6y1 x1+2 2y2 x2-2
=6y1(my2-1)-2y2 (my1+3) (x1+2)(x2-2)
=4my1y2-6(y1+y2) (x1+2)(x2-2)
=
=0，
--12m m2+4 -12m m2+4 (x1+2)(x2-2)
∴y0=y′0，即S0与S‘0重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．
