已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为53，焦点F1、F2在x轴上，椭

问题解答题

已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为

，焦点F₁、F₂在x轴上，椭圆G上一点N到F₁和F₂的距离之和为6．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若∠F₁NF₂=90°，求△NF₁F₂的面积；
（3）若过点M（-2，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

答案

（1）设椭圆G的方程为：

=1（a＞b＞0）半焦距为c．

则

2a=6

，

解得

a=3

，

∴b²=a²-c²=9-5=4

所以椭圆G的方程为

=1．

（2）若∠F₁NF₂=90°，

则在Rt△NF₁F₂中，|NF₁|²+|NF₂|²=|F₁F₂|²=20．

又因为|NF₁|+|NF₂|=6

解得|NF₁|•|NF₂|=8，

所以S△NF1F2=

|NF1|•|NF2|=4

（3）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），M的坐标为（-2，1），

当k不存在时，A、B关于点M对称显然不可能．

从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，

代入椭圆G的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，

△=（36k²+18k）²-4（4+9k²）（36k²+36k-27）=16×9（5k²-4k+3）

=16×45[(k-

)2+

]＞0

因为A，B关于点M对称，

所以

x1+x2

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

，

所以直线l的方程为y=

(x+2)+1，

即8x-9y+25=0（经检验，符合题意）．