问题 解答题
已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=
25
3

(1)求椭圆的标准方程和离心率e;
(2)设P为椭圆上第一象限的点,F2为右焦点,若△PF1F2为直角三角形,求△PF1F2的面积.
答案

(1)由题意可设椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),----------------------(2分)

由左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=

25
3
,得
c=3
a2
c
=
25
3
----------------------(4分)

解得:

a=5
c=3
从而b=4.----------------------(6分)

所以所求椭圆标准方程为

x2
25
+
y2
16
=1.----------------------(8分)

(2)①当∠PF2F1=90°时由(1)可知右焦点为F2(3,0),所以此时P点坐标为(3,

16
5
),

于是△PF1F2的面积为S△PF1F2=

1
2
×6×
16
5
=
48
5
,----------------------(12分)

②当∠F2PF1=90°时,由椭圆定义和勾股定理得,

PF12+PF22=36,…(1)
PF1 +PF2  =10,…(2)

(2)式的平方减去(1)式得PF1•PF2=32,但PF1•PF2≤(

PF1+PF2
2
)2=25,所以这种情况不存在.

综合①②得S△PF1F2=

48
5
.----------------------(16分)

单项选择题
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