问题
解答题
已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=
(1)求椭圆的标准方程和离心率e; (2)设P为椭圆上第一象限的点,F2为右焦点,若△PF1F2为直角三角形,求△PF1F2的面积. |
答案
(1)由题意可设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a>b>0),----------------------(2分)y2 b2
由左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=
,得25 3
----------------------(4分)c=3
=a2 c 25 3
解得:
从而b=4.----------------------(6分)a=5 c=3
所以所求椭圆标准方程为
+x2 25
=1.----------------------(8分)y2 16
(2)①当∠PF2F1=90°时由(1)可知右焦点为F2(3,0),所以此时P点坐标为(3,
),16 5
于是△PF1F2的面积为S△PF1F2=
×6×1 2
=16 5
,----------------------(12分)48 5
②当∠F2PF1=90°时,由椭圆定义和勾股定理得,PF12+PF22=36,…(1) PF1 +PF2 =10,…(2)
(2)式的平方减去(1)式得PF1•PF2=32,但PF1•PF2≤(
)2=25,所以这种情况不存在.PF1+PF2 2
综合①②得S△PF1F2=
.----------------------(16分)48 5