问题
解答题
△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知关于x的方程x2-（c+4）x+4c+8=0．
（1）若a，b是方程的两根，求证△ABC为直角三角形；
（2）若在（1）的条件下，且25asinA=9c，求此直角三角形三边的长．
答案
（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（c+4）2-2×（4c+8）=c2+8c+16-8c-16=c2．
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．
（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=
| a |
| c |
又25asinA=9c，则sinA=
| 9c |
| 25a |
∴
| a |
| c |
| 9c |
| 25a |
∴
| a2 |
| c2 |
| 9 |
| 25 |
得
| a |
| c |
| 3 |
| 5 |
则可得
| b |
| c |
| 4 |
| 5 |
由a+b=c+4，可得
| 7 |
| 5 |
解得c=10．
∴a=6，b=8．