问题
解答题
已知椭圆E：
（1）求椭圆E的方程； （2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率kQB，kQC存在且不为0，求证：kQB•kQC为定植． |
答案
（1）∵圆x2+y2+
x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-23
，0)，F2(3
，0)，3
∴a=2
，c=3
，∴b=3，3
∴椭圆方程是：
+x2 12
=1．…（4分）y2 9
（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-
，0），F2（3
，0），3
所以kPF1=tanβ=
，kPF2=tanα=y x+ 3
，y x- 3
因为β-α=
，所以tan（β-α）=-2π 3
．3
因为tan（β-α）=
=tanβ-tanα 1+tanαtanβ
，所以-2
y3 x2+y2-3
=--2
y3 x2+y2-3
，3
化简得x2+y2-2y=3，所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴kQB•kQC=
•n-y′ m-x′
=-n-y′ -m-x′ n2-y′2 m2-x′2
∵
+m2 12
=1，n2 9
+x′2 12
=1y′2 9
∴两式相减可得
+m2-x′2 12
=0n2-y′2 9
∴
=-n2-y′2 m2-x′2 3 4
∴kQB•kQC=-
…（12分）3 4
