问题
解答题
设向量
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程； （2）过原点O作直线l交轨迹C于两点M，N，若，试求△MAN的面积． （3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），试判断线段OG的长度是否为定值？并说明理由． |
答案
（1）∵
=（x+1，y），s
=（y，x-1），（x，y∈R）满足|t
|+|s
|=2t
，2
∴
+(x+1)2+y2
=2(x-1)2+y2
，2
∴动点P（x，y）的轨迹C的方程是以（±1，0）为焦点，以长轴长为2
，短轴长为2的椭圆，2
∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为
+y2=1．x2 2
（2）∵点A（1，0）和B（-1，0）为C的两个焦点，连接BM，BN，
由椭圆的对称性可知四边形AMBN是平行四边形，
∴∠AMB=π-∠MAN=
，π 3
设MA=r1，MB=r2，
由椭圆定义知r1+r2=2
，即r12+r22+2r1r2=8，2
在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos
=4，π 3
两式作差，得r1r2=
，4 3
∴S△MAN=
r1r2sin1 2
=π 3
．3 3
（3）设动点D（2，y0），
则以OD为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-y0）=0，①
直线GA：2x+y0y-2=0，②
由①②联立消去y0得G的轨迹方程是x2+y2=2，
∴OG=
（定值）2