已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，过点M（-1，0

问题解答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

，过点M（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点．
（1）若直线l的斜率为1，且

，求椭圆的标准方程；
（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，

•

取得最大值，并求出这个最大值．

答案

（1）e=

⇒

⇒a2=4b2，故椭圆方程为x²+4y²=4b²，

设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），由

得y1=-

y2，

由

y=x+1

x2+4y2=4b2

消去x得5y2-2y+1-4b2=0，∴y₁+y₂=

，y1y2=

1-4b2

，

由此得b²=1，a²=4，椭圆方程为

+y2=1；

（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆方程得：x²+4k²（x+1）²=4⇒（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0⇒

x1+x2=-

8k2

1+4k2

x1x2=

4k2-4

1+4k2

，所以

•

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（1+k²）x₁x₂+（k²-2）（x₁+x₂）+4+k²=

33k2

1+4k2

＜

，

当直线l的斜率不存在即α=90°时，

•

，

因此当α=90°时，

•

取得最大值，最大值为