问题
解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
(1)若直线l的斜率为1,且
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A,直线l的倾斜角为α,问α为何值时,
|
答案
(1)e=
⇒3 2
=c2 a2
⇒a2=4b2,故椭圆方程为x2+4y2=4b2,3 4
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),由
=-PM 3 5
得y1=-QM
y2,3 5
由
消去x得5y2-2y+1-4b2=0,∴y1+y2=y=x+1 x2+4y2=4b2
,y1y2=2 5
,1-4b2 5
由此得b2=1,a2=4,椭圆方程为
+y2=1;x2 4
(2)当直线l的斜率存在时,设l的方程为:y=k(x+1)代入椭圆方程得:x2+4k2(x+1)2=4⇒(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0⇒
,所以x1+x2=- 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2
•AP
=(x1-2,y1)•(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=AQ
=33k2 1+4k2
<33
+41 k2
,33 4
当直线l的斜率不存在即α=90°时,
•AP
=AQ
,33 4
因此当α=90°时,
•AP
取得最大值,最大值为AQ 33 4