问题 解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,过点M(-1,0)的直线l与椭圆交于P、Q两点.
(1)若直线l的斜率为1,且
PM
=-
3
5
QM
,求椭圆的标准方程;
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A,直线l的倾斜角为α,问α为何值时,
AP
AQ
取得最大值,并求出这个最大值.
答案

(1)e=

3
2
c2
a2
=
3
4
a2=4b2,故椭圆方程为x2+4y2=4b2

设P(x1,y1)、Q(x2,y2),由

PM
=-
3
5
QM
y1=-
3
5
y2

y=x+1
x2+4y2=4b2
消去x得5y2-2y+1-4b2=0,∴y1+y2=
2
5
y1y2=
1-4b2
5

由此得b2=1,a2=4,椭圆方程为

x2
4
+y2=1;

(2)当直线l的斜率存在时,设l的方程为:y=k(x+1)代入椭圆方程得:x2+4k2(x+1)2=4⇒(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0⇒

x1+x2=-
8k2
1+4k2
x1x2=
4k2-4
1+4k2
,所以
AP
AQ
=(x1-2,y1)•(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=
33k2
1+4k2
=
33
1
k2
+4
33
4

当直线l的斜率不存在即α=90°时,

AP
AQ
=
33
4

因此当α=90°时,

AP
AQ
取得最大值,最大值为
33
4

单项选择题
多项选择题 案例分析题