问题
解答题
已知抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的焦点为F2，其准线与x轴交于点F1，以F1，F2为焦点，离心率为
（1）当m=1时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程； （2）用m表示P点的坐标； （3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由． |
答案
解（1）∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，
又e=
，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=1 2
m．3
椭圆方程为
+x2 4m2
=1当m=1时，故椭圆方程为y2 3m2
+x2 4
=1，右准线方程为：x=4y2 3
（2）由
，解得：P(y2=4mx
+x2 4m2
=1y2 3m2
m，2 3
m)2 6 3
（3）假设存在满足条件的实数m，由（Ⅱ）知P(
m，2 3
m)2 6 3
∴|PF2|=
m+m=2 3
m，|PF1|=4m-|PF2|=5 3
m，又|F1F2|=2m=7 3
m．6 3
即△PF1F2的边长分别是
m、5 3
m、6 3
m．7 3
∵
-6m 3
=5m 3
-7m 3
=1∴m=3，6m 3
故存在实数m使△PF1F2的边长是连续的自然数．