已知点M（23，1）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，椭圆的两个

问题解答题

已知点M（2

，1）在椭圆C：

=1（a＞b＞0）上，椭圆的两个焦点F₁（-2

，0）和F₂（2

，0），斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B的坐标为（0，2），是否存在直线l，使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）依题意知，半焦距c=2

，由点M（2

，1）在椭圆C上，得|MF₂|=1，|MF₁|=7；∴2a=|MF₁|+|MF₂|=8；∴a=4，∴b²=a²-c²=4；所以，椭圆C的方程为：

=1．

（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；

由

y=-x+m

，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；

要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0；

∴△=（-8m）²-4×5（4m²-16）=16（-m²+20）＞0，

化简，得|m|＜2

． ①

由（*）知：x_R=

x1+x2

m，y_R=-x_R+m=

m．

且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即k_RQ•（-1）=-1；

所以

yR-2

xR-0

m-2

m-0

=1，解得m=-

．

因为

＜2

，所以m=-

适合①．

所以存在满足条件的直线l；y=-x-

．