问题 解答题
已知点M(2
3
,1)在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,椭圆的两个焦点F1(-2
3
,0)和F2(2
3
,0),斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案

(Ⅰ)依题意知,半焦距c=2

3
,由点M(2
3
,1)在椭圆C上,得|MF2|=1,|MF1|=7;∴2a=|MF1|+|MF2|=8;∴a=4,∴b2=a2-c2=4;所以,椭圆C的方程为:
x2
16
+
y2
4
=1.

(Ⅱ)设PQ的中点为R,直线l的方程为y=-x+m;

x2
16
+
y2
4
=1
y=-x+m
,得5x2-8mx+4m2-16=0(*);

要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点,则有△>0;

∴△=(-8m)2-4×5(4m2-16)=16(-m2+20)>0,

化简,得|m|<2

5
.  ①

由(*)知:xR=

x1+x2
2
=
4
5
m,yR=-xR+m=
1
5
m.

且|BP|=|BQ|,所以BR⊥PQ,即kRQ•(-1)=-1;

所以

yR-2
xR-0
=
1
5
m-2
4
5
m-0
=1,解得m=-
10
3

因为

10
3
<2
5
,所以m=-
10
3
适合①. 

所以存在满足条件的直线l;y=-x-

10
3

单项选择题
名词解释