问题
解答题
已知点M(2
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)依题意知,半焦距c=2
,由点M(23
,1)在椭圆C上,得|MF2|=1,|MF1|=7;∴2a=|MF1|+|MF2|=8;∴a=4,∴b2=a2-c2=4;所以,椭圆C的方程为:3
+x2 16
=1.y2 4
(Ⅱ)设PQ的中点为R,直线l的方程为y=-x+m;
由
,得5x2-8mx+4m2-16=0(*);
+x2 16
=1y2 4 y=-x+m
要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点,则有△>0;
∴△=(-8m)2-4×5(4m2-16)=16(-m2+20)>0,
化简,得|m|<2
. ①5
由(*)知:xR=
=x1+x2 2
m,yR=-xR+m=4 5
m.1 5
且|BP|=|BQ|,所以BR⊥PQ,即kRQ•(-1)=-1;
所以
=yR-2 xR-0
=1,解得m=-
m-21 5
m-04 5
.10 3
因为
<210 3
,所以m=-5
适合①. 10 3
所以存在满足条件的直线l;y=-x-
.10 3