（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为d=

6

1+1

=

3

，

∴b=

5-3

=

2

．由题意得  

c a = 3 3 a2=b2+c2 b= 2

，解得a²=3，b²=2．

故椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知

AF

≠2

FB

．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由

AF

=2

FB

，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），则有y₁=-2y₂①，

设直线l：x=my+1，联立

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

消去x，整理得（2m²+3）y²+4my-4=0．

∴y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=

-4

2m2+3

．

结合①，得y1=-

8m

2m2+3

，y2=

4m

2m2+3

．

代入y1y2=

-4

2m2+3

，得-

8m

2m2+3

×

4m

2m2+3

=-

4

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

=1，解得m=±

2

2

，

故直线l的方程是x=±

2

2

y+1．

（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立．

当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线l的方程为x=my+1，

用（1）的设法，可得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．

若点P在椭圆C上，则

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1，即

x12+2x1x2+x22

3

+

y12+2y1y2+y22

2

=1．

又点A，B在椭圆上，有

x12

3

+

y12

2

=1，

x22

3

+

y22

2

=1，

则

2

3

x1x2+y1y2+1=0，即2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②，

由（1）知x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-

8m2

2m2+3

+1，

代入②式得-

16m2

2m2+3

+2-

12

2m2+3

+3=0，解得m2=

1

2

，即m=±

2

2

．

当m=

2

2

时，y1+y2=-

4m

2m2+3

=-

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

；

当m=-

2

2

时，y1+y2=-

4m

2m2+3

=

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

．

故椭圆C上存在点P(

3

2

，±

2

2

)，使得

OP

=

OA

+

OB

成立，即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，公共点的坐标是(

3

2

，±

2

2

)．