问题
解答题
已知椭圆E：
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程； （2）若直角三角形MAB的面积的最大值为
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由． |
答案
（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为d=
=a2 c
≥2，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短c2+1 c
∵c=1，b=1，∴a2=b2+c2，∴a2=2
∴椭圆E的方程为
+y2=1x2 2
（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，
故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-
x+11 k
将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得 （1+a2k2）x2+2a2kx=0
解得x=0或x=
，故点A的坐标为(-2a2k 1+a2k2
，-2a2k 1+a2k2
)1-a2k2 1+a2k2
同理，点B的坐标为(
，2a2k k2+a2
)k2-a2 k2+a2
∴S=1 2 1+k2
×2a2|k| 1+a2 1+ 1 k2
=2a2|k| k2+a2
=2a4×2a4(k2+1)|k| (1+a2k2)(k2+a2) |k|+ 1 |k| (1+a2k2)(1+
)a2 k2
=2a4×
=t (1+a4)+a2(t2-2)
≤2a4
+a2t(1-2a2+a4) t
=2a4 2a(a2-1)
=a3 a2-1
，27 8
解得a=3
（3）由（2）知直线l的斜率为
=
-k2-a2 k2+a2 1-a2k2 1+a2k2
-2a2k k2+a2 -2a2k 1+a2k2 k2-1 (a2+1)k
直线l的方程为y=
(x-k2-1 (a2+1)k
)+2a2k k2+a2
，即y=k2-a2 k2+a2
x-k2-1 (a2+1)k a2-1 a2+1
∴直线l过定点(0，-
)a2-1 a2+1
所示：