问题 解答题
已知椭圆E:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的上顶点为M(0,1),两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求此时椭圆E的方程;
(2)若直角三角形MAB的面积的最大值为
27
8
,求a的值;
(3)对于给定的实数a(a>1),动直线是否经过一个定点?如果经过,求出该定点的坐标(用a表示)否则,说明理由.
答案

(1)坐标原点到椭圆E的准线距离为d=

a2
c
=
c2+1
c
≥2,当且仅当c=1时,坐标原点到椭圆E的准线距离最短

∵c=1,b=1,∴a2=b2+c2,∴a2=2

∴椭圆E的方程为

x2
2
+y2=1

(2)由MA⊥MB,可知直线MA与坐标轴不垂直,

故可设直线MA的方程为y=kx+1,直线MB的方程为y=-

1
k
x+1

将y=kx+1代入椭圆E的方程,整理得  (1+a2k2)x2+2a2kx=0

解得x=0或x=

-2a2k
1+a2k2
,故点A的坐标为(
-2a2k
1+a2k2
1-a2k2
1+a2k2
)

同理,点B的坐标为(

2a2k
k2+a2
k2-a2
k2+a2
)

S=

1
2
1+k2
2a2|k|
1+a2
×
1+
1
k2
2a2|k|
k2+a2
=
2a4(k2+1)|k|
(1+a2k2)(k2+a2)
=2a4×
|k|+
1
|k|
(1+a2k2)(1+
a2
k2
)

=2a4×

t
(1+a4)+a2(t2-2)
=
2a4
(1-2a2+a4)
t
+a2t
2a4
2a(a2-1)
=
a3
a2-1
=
27
8

解得a=3

(3)由(2)知直线l的斜率为

k2-a2
k2+a2
-
1-a2k2
1+a2k2
2a2k
k2+a2
-
-2a2k
1+a2k2
=
k2-1
(a2+1)k

直线l的方程为y=

k2-1
(a2+1)k
(x-
2a2k
k2+a2
)+
k2-a2
k2+a2
,即y=
k2-1
(a2+1)k
x-
a2-1
a2+1

∴直线l过定点(0,-

a2-1
a2+1
)

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