问题
单项选择题
设随机变量X的概率密度为f(x)=ae-2|x|(-∞＜x∞+∞)，随机变量Y1=|X|，Y2=X2．
(Ⅰ) 确定常数a的值；
(Ⅱ) 讨论X与Yi(i=1，2)的相关性与独立性．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)
[*]
(Ⅱ)
[*]
cov(X，Y1)=EXY1-EXEY1=0．
从cov(X，Y1)=0可得X与Y1不相关．
对于任何正实数b：0＜b＜+∞，有0＜P{X≤b}＜1，但是
P{X≤b，Y1≤b}=P{X≤b，|X|≤b}=P{|X|≤b}=P{Y1≤b}，
P{X≤b}P{Y1≤b}＜P{Y1≤b}．
由于当b＞0时，P{X≤b，Y1≤b}≠P{X≤b}P{Y1≤b}，因此X与Y1不独立．我们的结论是X与Y1不相关，但是它们不独立．
类似地有 EXY2=EXX2=EX3=0，cov(X，Y2)=EXY2-EXEY2=0．
因此，X与Y2亦不相关．
对任何实数c＞0，P{X≤c}＜1．但是当c＞1时，事件{X≤c}]{X2≤c}．
P{X≤c，Y2≤c}=P{X≤c，X2≤c}=P{X2≤c}=P{Y2≤c}，
P{X≤c}P{Y2≤c}＜P{Y2≤c}．
由于P{X≤c，Y2≤c}≠P{X≤c}P{Y2≤c