问题
单项选择题
设随机变量X在区间(0，1)上随机地取值，当X取到x(0＜x＜1)时，Y在(x，1)上随机地取值．试求：(Ⅰ)(X，Y)的联合密度函数；(Ⅱ)关于Y的边缘密度函数；(Ⅲ)求在Y=y条件下，关于X的条件概率密度；(Ⅳ)PX+Y＞1．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ) 根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，其密度函数为
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而变量Y在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为
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再根据条件概率密度的定义，即得联合概率密度
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(Ⅱ)利用求得的联合概率密度，不难求出关于y的边缘概率密度
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故[*]
(Ⅲ)当y≤0或y≥1时，fY(y)=0，fX|Y(x|y)不存在；
当0＜y＜1时，fY(y)=-ln(1-y)≠0，X的条件概率密度为
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(Ⅳ)由图7-1可以看出
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解析：[分析] 欲求密度函数，通常是先求分布函数，这对一维和二维随机变量都是一样的．但是本题所给的是X在(0，1)区间上服从均匀分布，而且在X取到x的条件下，Y在(x，1)上服从均匀分布，这相当于给出的是条件概率密度，所以可以直接写出联合概率密度．
[注意] 本题积分值的计算中，我们用到了[*]