问题
解答题
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，
（1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明． |
答案
（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵椭圆过M，N两点
∴
⇒m+
n=132 9
m+2n=19 2
，即椭圆方程为m= 1 9 n= 1 4
+x2 9
=1．y2 4
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由
+x2 9
=1，得y2=4（1-y2 4
）x2 9
∴|AP|2=（x-a）2+y2=（x-a）2+4（1-
）=x2 9
（x-5 9
a）2+4-9 5
a2（|x|≤3），4 5
当|
|≤3即0＜a≤9a 5
时，|AP|2的最小值为4-5 3
a24 5
∴4-
a2=1⇒a=±4 5
∉（0，15 2
]5 3
∴
a＞3即9 5
＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3-a）25 3
∴（3-a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）
故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．