（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），

∴a=4，b=2，

故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1

（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k），设P（x₀，y₀），则kAP•kBP=

y0

x0+4

•

y0

x0-4

=

y02

x02-16

=-

1

4

，∴直线BP的方程为：y=-

1

4k

(x-4)，

得N(5，-

1

4k

)

∴|MN|=|9k+

1

4k

|=9k+

1

4k

≥2

9k• 1 4k

=3

当且仅当9k=

1

4k

即k=

1

6

时等号成立

∴k=

1

6

时，线段MN的长度取最小值3．

（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=

1

6

，此时直线BP的方程为3x+2y-12=0，P(

16

5

，

6

5

)，|BP|=

2

5

13

设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0

联立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0

由△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

当t=-4

10

时，BP与l'的距离为

4 10 -12

13

，此时S_△BPQ=

4

5

(

10

-3)

当t=4

10

时，BP与l'的距离为

4 10 +12

13

，此时S_△BPQ=

4

5

(

10

+3)

∴当0＜s＜

4

5

(

10

-3)时，这样的Q点有4个

当S=

4

5

(

10

-3)时，这样的Q点有3个

当

4

5

(

10

-3)＜s＜

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点有2个

当S=

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点有1个

当S＞

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点不存在．