已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-3，0)和F2(3，0)的距离之和为4，

问题解答题

已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-

，0)和F2(

，0)的距离之和为4，
（1）求曲线E的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且

•

=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

答案

（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆

其中a=2，c=

，则b=

a2-c2

=1，

所以动点M的轨迹方程为

+y2=1；

（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

∵

•

=0，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，

∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，

∴y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，

∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0①

由方程组

+y2=1

y=kx-2.

得（1+4k²）x²-16kx+12=0，

则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1•x2=

1+4k2

，

代入①，得(1+k2)•

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，

即k²=4，解得，k=2或k=-2，

所以，直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．