问题
解答题
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论． |
答案
（I）一个焦点是F（0，-
），故c=3
，可设椭圆方程为3
+y2 3+b2
=1 …（2分）x2 b2
∵点（
，1 2
）在椭圆上，∴3
+3 3+b2
=11 4b2
∴b2=1，b2=
（舍去）3 4
∴椭圆方程为
+x2=1 …（4分）y2 4
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线PA1方程y=
x+2，PA2方程y=2 t
x-2，6 t
y=
x+2代入2 t
+x2=1得（1+t2）x2+2tx=0，y2 4
得x1=-
，y1=2t 1+t2
，∴kQM=2t2-2 1+t2
=y1-1 x1
，…（8分）3-t2 2t
y=
x-2代入6 t
+x2=1得（9+t2）x2-6tx=0y2 4
得x2=
，y2=6t 9+t2
，∴kQN=18-6t2 9+t2
=y2-1 x2
，…（10分）3-t2 2t
∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）． …（12分）