（1）由双曲线G：x²-y²=4，得焦点(±2

2

，0)，顶点（±2，0）．

∵椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，∴a2=(2

2

)2=8，c²=2²=4，∴b²=8-4=4．

∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；

（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=r²，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

．

当切线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+t，与椭圆的两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

联立

y=kx+t x2 8 + y2 4 =1

，消去y得到关于x的方程（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，

必须满足△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-8）＞0，即8k²+4＞t²（*）．

∴x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-8

1+2k2

．（**）

∵直线l与圆x²+y²=r²，∴

|t|

1+k2

=r，化为t²=r²（1+k²）．①

∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0．

又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t．

代入上式得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，

把（**）代入上式得

(1+k2)(2t2-8)

1+2k2

-

4k2t2

1+2k2

+t2=0，

化为3t²=8（k²+1），②满足（*）式．

由①②可得r2=

8

3

．

因此此时存在满足条件的圆为x2+y2=

8

3

．

当切线l的斜率不存在时，也满足上述方程．

综上可知：存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=

8

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

．