已知圆C：（x+2）2+y2=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在A

问题解答题

已知圆C：（x+2）²+y²=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上（C为圆心），且满足

= 2

，

=0，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B（m，0）作倾斜角为

π的直线l交曲线E于C、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

答案

（1）由

，

•

=0，知NP为AM的中垂线，

∴|

| =|

|，∴|

| +|

| =|

| +|

| =2

＞4=|

|，

∴N的轨迹是椭圆，c=2，a=

，即N的轨迹方程是

=1．

（2）由题意，l的方程是y=

(x-m)，

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

由

y=-

(x-m)

，消去y，整理得：2x²-2mx+m²-6=0，

由△＞0⇒4m²-4×2（m²-6）＞0⇒-2

＜m＜2

，

∴x1+x2=m，x1x2=

m2-6

，

又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得

•

＜0，

∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，

x1x2-(x1+x2)+1+(-

)2(x1-m)(x2-m)＜0，

∴

x1x2-(1+

m) (x1+x2) +

m2+1＜0，

∴2m²-3m-9＜0，

即-

＜m＜3．

综上所述，m的取值范围(-

，3)．