（1）设双曲线的焦点为（±c，0）（c＞0），则椭圆C的方程为

x2

c2

+

y2

b2

=1，其中c²=a²+b²

将a=

3

，  b=1代入，可得椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；

（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|x₁|：|x₂|=2：1，可知．

联立椭圆和直线的方程，得

x2 4 +y2=1 y=kx+ 1 2

，消元得(k2+

1

4

)x2+kx-

3

4

=0，可知x1+x2=

-k

k2+ 1 4

，x1x2=

- 3 4

k2+ 1 4

，即x₁与x₂异号，所以x₁=-2x₂．

代入上式，得-x2=

-k

k2+ 1 4

，  -2

x

22

=

- 3 4

k2+ 1 4

，消元，得k=±

15

10

．

所以直线方程为l：y=±

15

10

x+

1

2

（3）联立椭圆和直线的方程，得方程组

x2 c2 + y2 b2 =1 y=x+5

，其中c²=b²+1

消去y，可得（

1

b2+1

+

1

b2

）x²+

10

b2

x+

25

b2

-1=0

∴△=(

10

b2

)2-4(

1

b2+1

+

1

b2

)(

25

b2

-1)≥0，

解得b²≥12，所以c²≥13，当且仅当b=2

3

，  c=

13

时长轴长最短，是2

13

．