问题
解答题
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)是否存直线l,满足
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答案
(Ⅰ)设椭圆C的方程为
+x2 a2
=1 (a>b>0),由题意得y2 b2
+1 a2
=19 4b2
=c a 1 2 a2=b2+c2.
解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为
+x2 4
=1.y2 3
(Ⅱ)若存在直线l满足条件,由题意可设直线l的方程为y=k(x-2)+1,
由
得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.
+x2 4
=1y2 3 y=k(x-2)+1
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以△=[-8k(2k-1)]2-4•(3+4k2)•(16k2-16k-8)>0.
整理得32(6k+3)>0.
解得k>-
.1 2
又x1+x2=
,x1x2=8k(2k-1) 3+4k2
,16k2-16k-8 3+4k2
且
•PA
=PB
2,即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=PM
,5 4
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=|PM|2=
.即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=5 4
.5 4
所以[
-216k2-16k-8 3+4k2
+4](1+k2)=8k(2k-1) 3+4k2
=4+4k2 3+4k2
,解得k=±5 4
.1 2
所以k=
.于是存在直线l满足条件,其的方程为y=1 2
x.1 2