问题 解答题
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
1
2
,且经过点M(1,
3
2
)
,过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存直线l,满足
PA
PB
=
PM
2
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案

(Ⅰ)设椭圆C的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0),由题意得
1
a2
+
9
4b2
=1
c
a
=
1
2
a2=b2+c2.

解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为

x2
4
+
y2
3
=1.

(Ⅱ)若存在直线l满足条件,由题意可设直线l的方程为y=k(x-2)+1,

x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-2)+1
得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.

因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

所以△=[-8k(2k-1)]2-4•(3+4k2)•(16k2-16k-8)>0.

整理得32(6k+3)>0.

解得k>-

1
2

x1+x2=

8k(2k-1)
3+4k2
x1x2=
16k2-16k-8
3+4k2

PA
PB
=
PM
2
,即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=
5
4

所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=|PM|2=

5
4
.即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=
5
4

所以[

16k2-16k-8
3+4k2
-2
8k(2k-1)
3+4k2
+4](1+k2)=
4+4k2
3+4k2
=
5
4
,解得k=±
1
2

所以k=

1
2
.于是存在直线l满足条件,其的方程为y=
1
2
x

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