问题
解答题
若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为
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答案
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（
，x1+x2 2
）．y1+y2 2
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax2+by2=1，
∴
=x1+x2 2
，b a+b
=1-y1+y2 2
=x1+x2 2
．a a+b
∴M（
，b a+b
）．a a+b
∵kOM=
，∴b=2 2
a．①2
∵OA⊥OB，∴
•y1 x1
=-1．y2 x2
∴x1x2+y1y2=0．
∵x1x2=
，y1y2=（1-x1）（1-x2），b-1 a+b
∴y1y2=1-（x1+x2）+x1x2
=1-
+2b a+b
=b-1 a+b
．a-1 a+b
∴
+b-1 a+b
=0．a-1 a+b
∴a+b=2．②
由①②得a=2（
-1），b=22
（2
-1）．2
∴所求方程为2（
-1）x2+22
（2
-1）y2=1．2