问题
解答题
已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2． （1）求此椭圆的方程； （2）设此椭圆的左焦点为F1，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F2PF1=60°？并证明你的结论． |
答案
解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，
两式相减得
=-b2(x1+x2) a2(y1+y2)
=-y1-y2 x1-x2
①，6 5
由
=c，x1+x2+0 3
=0，得x1+x2=3c，y1+y2=-b，代入①y1+y2+b 3
得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②；
∵M、N在直线L上，得6（x1+x2）-5（y1+y2）=56⇒18c+5b=56③；
由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a2=20，
因此椭圆方程为：
+x2 20
=1．y2 16
（2）证明：cos∠F1PF2=r12+r22-16 2r1r2
=
≥64-2r1r2 2r1r2
-1=128 (r1+r2)2
＞3 5
，1 2
∴∠F1PF2＜60°，
∴使∠F1PF2=60°的点P不存在．
