问题
解答题
已知直线l:6x-5y-28=0交椭圆
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2. (1)求此椭圆的方程; (2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得∠F2PF1=60°?并证明你的结论. |
答案
解(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),
则b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,
两式相减得
b2(x1+x2) |
a2(y1+y2) |
y1-y2 |
x1-x2 |
6 |
5 |
由
x1+x2+0 |
3 |
y1+y2+b |
3 |
得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②;
∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56⇒18c+5b=56③;
由②③解得(b为整数):b=4,c=2,a2=20,
因此椭圆方程为:
x2 |
20 |
y2 |
16 |
(2)证明:cos∠F1PF2=
r12+r22-16 |
2r1r2 |
=
64-2r1r2 |
2r1r2 |
128 |
(r1+r2)2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
∴∠F1PF2<60°,
∴使∠F1PF2=60°的点P不存在.