解（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，

两式相减得

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=-

y1-y2

x1-x2

=-

6

5

①，

由

x1+x2+0

3

=c，

y1+y2+b

3

=0，得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，代入①

得2b²-5bc+2c²=0⇒2b=c或b=2c②；

∵M、N在直线L上，得6（x₁+x₂）-5（y₁+y₂）=56⇒18c+5b=56③；

由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a²=20，

因此椭圆方程为：

x2

20

+

y2

16

=1．

（2）证明：cos∠F1PF2=

r12+r22-16

2r1r2

=

64-2r1r2

2r1r2

≥

128

(r1+r2)2

-1=

3

5

＞

1

2

，

∴∠F₁PF₂＜60°，

∴使∠F₁PF₂=60°的点P不存在．