（Ⅰ）由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，所以3a²=4b²①（1分）

又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，

所以

1

a2

+

9

4b2

=1②（2分）

由①②解之，得a²=4，b²=3．

故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）

（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，

所以|OP|=

3

．（6分）

当k≠0时，则由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

消y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，

△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③（8分）

设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），

则x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

．（9分）

由于点P在椭圆C上，所以

x 20

4

+

y 20

3

=1．（10分）

从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．（11分）

又|OP|=

x 20 + y 20

=

64k2m2 (3+4k2)2 + 36m2 (3+4k2)2

=

4m2(16k2+9) (3+4k2)2

=

16k2+9 4k2+3

=

4- 3 4k2+3

．（12分）

因为0＜|k|≤

1

2

，得3＜4k²+3≤4，有

3

4

≤

3

4k2+3

＜1，

故

3

＜|OP|≤

13

2

．（13分）

综上，所求|OP|的取值范围是[

3

，

13

2

]．（14分）