（I）由题意，椭圆的一个焦点为（1，0），

又∵点A(1，

3

2

)在椭圆C上，

∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4 b2 =1

∴a²=4，b²=3

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；

（II）存在，

直线y=k（x-1）与椭圆方程联立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，

∴y1+y2=

-6k

3+4k2

∴MN垂直平分线方程为y-

-3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)

令y=0，可得x=

7k2

3+4k2

∴P（

7k2

3+4k2

，0），

设Q（a，0），则|PQ|=|

7k2

3+4k2

-a|

∵|MN|=

1+k2

•|x1-x2|=

12(1+k2)

3+4k2

，

∴

|PQ|

|MN|

=

| 7k2 3+4k2 -a|

12(1+k2) 3+4k2

=

|7k2-a(3+4k2)|

12(1+k2)

∴a=7时，

|PQ|

|MN|

=

7

4

∴Q（7，0）．