问题
解答题
设椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1•k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． |
答案
（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
=|c| 2
，解得c=2．又∵e=2
=c a
，∴a=22 2
，∴b=2．2
∴椭圆C的方程为
+x2 8
=1．（6分）y2 4
（Ⅱ）由
解得x=y=
+x2 8
=1y2 4 y=x
，或x=y=-2 6 3
，2 6 3
不妨设M(
，2 6 3
)， N(-2 6 3
，-2 6 3
)，P（x，y），2 6 3
∴kPM•kPN=
•y- 2 6 3 x- 2 6 3
=y+ 2 6 3 x+ 2 6 3
，y2- 8 3 x2- 8 3
由
+x2 8
=1，即x2=8-2y2，代入化简得k1•k2=kPM•kPN=-y2 4
为定值．（12分）1 2