（1）由2b=2，得b=1．                                  …（1分）

由

c

a

=

2

2

，得

a2-1

a2

=

1

2

，a2=2．                        …（2分）

∴椭圆C₁的方程是

x2

2

+y2=1．                              …（3分）

依题意有1+

p

2

=2，得p=2，…（4分）

∴抛物线C₂的方程是y²=4x．…（5分）

（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．

由直线l与椭圆C₁相切，可得n=±

2

；

由直线与抛物线C₂相切得n=0．

∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）

②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n   …（8分）

当直线l与椭圆C₁相切时，联立

x2 2 +y2=1 y=kx+n

，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，

由△1=(4kn)2-4(1+2k2)(2n2-2)=0，得n²=2k²+1，…（10分）

当直线l与抛物线C₂相切时，联立

y2=4x y=kx+n

，得k²x²+2（kn-2）x+n²=0，

由△2=[2(kn-2)]2-4k2n2=0，得kn=1，…（12分）

联立

n2=2k2+1 kn=1

，解得k=

2

2

，n=

2

或k=-

2

2

，n=-

2

．…（13分）

综上，直线l的方程为y=±

2

2

(x+2)．…（14分）