问题
解答题
已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为
（I）求椭圆E的方程； （II）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围． |
答案
（I）依题意，可设椭圆E的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)．y2 b2
由
=c a
⇒a=2c，b2=a2-c2=3c2，1 2
∵椭圆经过点(1，
)，则3 2
+1 4c2
=1，解得c2=1，9 12c2
∴椭圆的方程为
+x2 4
=1．y2 3
（II）联立方程组
，消去y整理得（4k2+3）x2-16kx+4=0，y=kx-2
+x2 4
=1y2 3
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（-16k）2-16（4k2+3）＞0，解得k2＞
，①1 4
∵原点O在以MN为直径的圆外，
∴∠MON为锐角，即
•OM
＞0．ON
而M、N分别在OA、OB上且异于O点，即
•OA
＞0，OB
设A，B两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则
•OA
=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2OB
=（k2+1）x1x2-2k（x1+x2）+4═(k2+1)
-2k4 4k2+3
+4＞016k 4k2+3
解得k2＜
，②4 3
综合①②可知：k∈(-
，-2 3 3
)∪(1 2
，1 2
)．2 3 3