已知曲线C的方程为kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．（1）若曲线C是椭

问题解答题

已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．

（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；

（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；

当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

k+1

4-k

=1，①

方程①表示椭圆的充要条件是

k+1

＞0

k+1

4-k

＞0

k+1

≠

k+1

4-k

即是0＜k＜2或2＜k＜4．

（2）方程①表示双曲线的充要条件是

k+1

•

k+1

4-k

＜0，

即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．

①当k＜-1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上，

a²=

k+1

，b²=

k+1

k-4

，

其一条渐近线的斜率为

k+1

k-4

k+1

，得k=6．

②当-1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，

a²=

k+1

4-k

，b²=-

k+1

，

其一条渐近线的斜率为

k+1

4-k

，得k=6（舍），

综上得双曲线方程为

=1．

（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．

由

y=-x+m

6x2-2y2

=7，

消去y，

得4x²+4mx-2m²-7=0．②

设P、Q的中点是M（x₀，y₀），则

x0=-

y0=

M在直线l上，

∴

-1，解得m=-

，方程②的△＞0，

∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-

．