问题
解答题
已知椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值． |
答案
（1）由题意知b=
，3
(2a+2c)b=31 2
，所以a+c=3①，3
又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为：
+x2 4
=1；y2 3
（2）由（1）知F1（-1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky-1，
由
得（3k2+4）y2-6ky-9=0，△＞0成立，x=ky-1
+x2 4
=1y2 3
且y1+y2=
，y1y2=6k 3k2+4
，-9 3k2+4
△F2AB的面积S=
×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|=1 2 (y1+y2)2-4y1y2
=
=12
+36k2 (3k2+4)2 36 3k2+4
=k2+1 (3k2+4)2
，12 9(k2+1)+
+61 k2+1
又k2≥0，所以9(k2+1)+
+6递增，1 k2+1
所以9(k2+1)+
+6≥9+1+6=16，1 k2+1
所以
≤12 9(k2+1)+
+61 k2+1
=3，当且仅当k=0时取得等号，12 16
所以△F2AB面积的最大值为3．