问题
解答题
| 曲线C上任一点到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离之和为12．曲线C的左顶点为A，点P在曲线C上，且PA⊥PF2． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）求点P的坐标； （Ⅲ）在y轴上求一点M，使M到曲线C上点的距离最大值为3
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答案
（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．
所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半轴 b=
=62-42
，20
所以所求的椭圆方程为
+x2 36
=1；y2 20
（2）由已知A（-6，0），F2（4，0），设点P的坐标为（x，y）
则
=(x+6，y)，AP
=(x-4，y)FP
由已知得
+x2 36
=1y2 20 (x+6)(x-4)+y2=0.
则 2x2+9x-18=0，解之得x=
，或x=-6，3 2
由于A，P两点不重合，所以只能取 x=
，于是y=3 2 5 2
，3
所以点P的坐标为 (
，3 2
)；5 3 2
（3）设圆M的圆心为（0，n），半径为3
，其方程为x2+（y-n）2=63，当此圆与椭圆相切时，使M到曲线C上点的距离最大值为37
．7
由
消去x得：x 2+(y-n) 2=63
+x 2 36
=1y 2 20
+63-(y-n) 2 36
=1y2 20
则56y2+40ny+20n2-93=0．
△=0⇒n=6或8．
所求的M的坐标为（0，6）或（0，8）．