问题
解答题
设F1，F2分别是椭圆C：
（Ⅰ）求此椭圆方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
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答案
（Ⅰ）由题意有
，解得2a=4
+1 a2
=19 4b2 a=2 b= 3
∴椭圆的方程为
+x2 4
=1y2 3
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由
⇒（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
+x2 4
=1y2 3 y=kx+m
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点
∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3
又x1+x2=-
∴MN中点P的坐标为(-8km 3+4k2
，4km 3+4k2
)3m 3+4k2
设MN的垂直平分线l'方程：y=-
(x-1 k
)1 8
∵p在l'上∴
=-3m 3+4k2
(-1 k
-4km 3+4k2
)1 8
即4k2+8km+3=0∴m=-
(4k2+3)1 8k
将上式代入得
＜4k2+3∴k2＞(4k2+3)2 64k2 1 20
即k＞
或k＜-5 10
∴k的取值范围为(-∞，-5 10
)∪(5 10
，+∞)．5 10